Bikvadratická rovnice

[jirkasta]

Nedávno jsem počítal různé příklady z matematiky a narazil jsem na výraz, který se dal zjednodušit přímo na kořen bikvadratické rovnice, který se pak následně nepočítal, protože to je mimo znalosti středoškoláka. Každopádně je to zajímavý příklad a zkusíme si ho společně spočítat. Bikvadratická rovnice je speciální případ kvartické rovnice, tedy rovnice čtvrtého řádu v základním tvaru ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0. Bikvadratická rovnice upouští kubický a lineární člen, zapisuje se tedy ve tvaru ax^4+cx^2+e = 0.

V zásadě ji můžeme vyřešit dvěma způsoby, které fungují vždy; buď přes obecné řešení kvartické rovnice, což je ale velmi komplikované nebo přes substituci, kdy pak vznikne kvadratická rovnice, která se dá vyřešit již jednoduše. Proto budeme postupovat přes substituci.

Rovnice je následující: 3x^4 - 72x^2 + 429 = 0.

1. Vytvoříme si substituci z = x^2. Rázem se stane z výpočtu kvadratická rovnice: 3z^2 - 72z + 429 = 0
2. Vyřešíme vzniklou kvadratickou rovnici: a = 3, b = -72, c = 429
   • z1,2 = (-b +- sqrt(b^2-4*a*c)) / (2*a)
   • z1,2 = (72 +- sqrt(5184-4*3*429)) / (2*3)
   • z1,2 = (72 +- sqrt(36)) / 6
   • z1,2 = (72+- 6) / 6
   • z1 = (72+6) / 6 = 13
   • z2 = (72-6) / 6 = 11
3. Odstraníme substituci a postupujeme podle vzorečků níže:
   • x1,2 = +- sqrt(z1)
   • x3,4 = +- sqrt(z2)
   • Po odmocnění jsou výsledkem 4 řešení:
   • x1 ≐  3,606
   • x2 ≐  -3,606
   • x3 ≐  3,317
   • x4 ≐  -3,317

Kvartická rovnice může mít až čtyři řešení. Proč má čtyři řešení? Zkrátka se ve standardním stavu 4x dotýká osy x v grafickém znázornění, jedná se tedy o jakousi 3x zatočenou křivku bez pojmenování. Např. lineární rovnice má jedno řešení, protože je jejím grafem přímka. Podívejte se na grafické znázornění našeho příkladu skrze grafický program a přesvědčte se, že skutečně křivka protíná 4x osu x dle výsledku; krajní křivky jdou do nekonečna, vnitřní se kdesi vysoko nahoře na souřadnici [0,429] stočí:

Proč se stočí zrovna na ose y v bodě 429? Vzpomínáte si ze školy na posuny funkcí vyčtené z předpisu? Ano, je to totéž, + 429 posune celý graf o 429 bodů nahoru.